3-level hash index memory layout

论文中“人类 24 条染色体索引总共约 9.8 GB”这个数字，是从哈希索引的三级结构逐级累加得到的。下面把计算逻辑拆开讲清楚。

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一、三级结构各自的存储公式

论文第 5 节定义：

级别	存什么	每条大小	总大小公式
第一级：Bucket（桶）	第二级起始地址 + 该桶 minimizer 数量	4 B	$2^{24} \times 4$ B
第二级：Minimizer	哈希值 + 第三级起始地址 + seed 位置数量	12 B	$M \times 12$ B
第三级：Seed Location	节点 ID + 节点内偏移	8 B	$L \times 8$ B

其中：

• $M$ = 不同 minimizer 的数量（distinct minimizers）；
• $L$ = 所有 seed 位置的总数（total number of locations）。

所以总索引大小：

$$\text{Total} = \underbrace{2^{24} \times 4}_{\text{第一级}} + \underbrace{M \times 12}_{\text{第二级}} + \underbrace{L \times 8}_{\text{第三级}}$$

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二、第一级桶的大小是固定的

论文选择桶数量为 $2^{24}$：

We empirically find that a bucket count of $2^{24}$ strikes a reasonable balance.

每个桶条目 4 B，所以第一级总大小：

$$2^{24} \times 4 \text{ B} = 16,777,216 \times 4 = 67,108,864 \text{ B} \approx 64 \text{ MB} \approx 0.064 \text{ GB}$$

这部分与基因组内容无关，是固定开销。

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三、第二级和第三级依赖实际统计

第二级和第三级的大小取决于人类 24 条染色体的图参考中实际有多少个：

• 不同 minimizer（$M$）；
• seed 位置总数（$L$）。

论文第 10 节给出了图参考的统计信息：

Across the 24 graphs generated (one for each chromosome; 1-22, X, Y), in total, we have 20.4 M nodes, 27.9 M edges, 3.1 B sequence characters, and 7.1 M variations.

翻译：
24 个图总共约 20.4 M 节点、27.9 M 边、3.1 B 序列字符、7.1 M 变异。

但论文没有直接列出 $M$ 和 $L$ 的具体数值，只给出了最终总大小 9.8 GB。
我们可以用总大小反推 $M$ 和 $L$ 的大致范围。

总大小 9.8 GB = $9.8 \times 10^9$ B（论文按十进制 GB 计）。
减去第一级 0.064 GB：

$$9.8 - 0.064 \approx 9.736 \text{ GB} = 9.736 \times 10^9 \text{ B}$$

所以第二级 + 第三级：

$$12M + 8L \approx 9.736 \times 10^9$$

另外，$L$ 和 $M$ 的关系取决于重复序列。
人类基因组中很多 minimizer 会出现在多个位置，所以 $L > M$。
假设平均每个 minimizer 出现约 1.3 次，即 $L \approx 1.3M$，代入：

12M + 8(1.3M) = 12M + 10.4M = 22.4M \approx 9.736 \times 10^9

$$M \approx 4.35 \times 10^8$$ $$L \approx 5.65 \times 10^8$$

所以大致是：

• 不同 minimizer：约 4.35 亿个；
• seed 位置总数：约 5.65 亿个。

于是：

• 第二级：$4.35 \times 10^8 \times 12 \text{ B} \approx 5.22 \times 10^9 \text{ B} \approx 5.22 \text{ GB}$
• 第三级：$5.65 \times 10^8 \times 8 \text{ B} \approx 4.52 \times 10^9 \text{ B} \approx 4.52 \text{ GB}$

加上第一级 0.064 GB：

$$5.22 + 4.52 + 0.064 \approx 9.80 \text{ GB}$$

正好接近论文给出的 9.8 GB。

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四、为什么是这个数量级？

人类基因组约 3.1 B 碱基。
使用 minimizer 时，期望密度约为 $2/(w+1)$。
假设 $w=10$，则密度约 $2/11 \approx 18\%$。
3.1 B × 18% ≈ $5.6 \times 10^8$ 个 minimizer 出现次数，正好对应 $L \approx 5.65$ 亿。

不同 minimizer 数量 $M$ 略小于 $L$，因为部分 minimizer 在重复区域出现多次。
所以 $M \approx 4.35$ 亿，$L \approx 5.65$ 亿，是完全合理的。

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五、总结

人类 24 条染色体索引的 9.8 GB 是这样算出来的：

$$\boxed{ \text{总索引} = \underbrace{2^{24} \times 4 \text{ B}}_{\text{桶：约 }0.064\text{ GB}} + \underbrace{M \times 12 \text{ B}}_{\text{minimizer：约 }5.2\text{ GB}} + \underbrace{L \times 8 \text{ B}}_{\text{seed 位置：约 }4.5\text{ GB}} \approx 9.8 \text{ GB} }$$

其中：

• $2^{24}$ 是桶数量，固定；
• $M$ 是不同 minimizer 数量，约 4.35 亿；
• $L$ 是 seed 位置总数，约 5.65 亿。

这些数字来自对人类 24 条染色体图参考的实际统计。
第一级桶只占 64 MB，第二级和第三级才是索引的主要内存开销。